ترفند متلب: چگونگی حل معادلات دیفرانسیل معمولی در متلب

ترفند متلب: چگونگی حل معادلات دیفرانسیل معمولی در متلب

یکی از مهم ترین مسائلی که احتمالا شما در ریاضیات کاربردی و علوم مهندسی با آن مواجه شوید، نیاز به حل معادلات دیفرانسیل به صورت عددی است. این کار برای شبیه سازی و تحلیل سیستم های دینامیکی بسیار حیاتی است. بارها از طریق ایمیل ها با نظراتی که به متلب سایت ارسال شده است، در خصوص حل معادلات دیفرانسیل با مرتبه بیشتر از یک سئوالاتی توسط مراجعین محترم مطرح شده است. در این پست قصد داریم تا مطالبی در خصوص چگونگی حل معادلات دیفرانسیل با مرتبه بیش از یک توسط نرم افزار متلب، ارائه نماییم. در ادامه مطلب با ما همراه باشید.

ترفند متلب: چگونگی حل معادلات دیفرانسیل معمولی در متلب

یکی از مهم ترین مسائلی که احتمالا شما در ریاضیات کاربردی و علوم مهندسی با آن مواجه شوید، نیاز به حل معادلات دیفرانسیل به صورت عددی است. این کار برای شبیه سازی و تحلیل سیستم های دینامیکی بسیار حیاتی است. بارها از طریق ایمیل ها با نظراتی که به متلب سایت ارسال شده است، در خصوص حل معادلات دیفرانسیل با مرتبه بیشتر از یک سئوالاتی توسط مراجعین محترم مطرح شده است. در این پست قصد داریم تا مطالبی در خصوص چگونگی حل معادلات دیفرانسیل با مرتبه بیش از یک توسط نرم افزار متلب، ارائه نماییم. در ادامه مطلب با ما همراه باشید.

یک معادله ساده

سیستمی که در این مقاله قصد حل معادله دیفرانسیلی مربوط به آن را داریم، سیستم جرم و فنر خطی است که یک سیستم درجه دو خطی و تغییر ناپذیر با زمان است. فرض بر این است که محور حرکت سیستم مورد بررسی افقی است و از این رو نیروی گرانش تاثیری بر روی عملکرد سیستم ندارد. اگر $$m$$ جرم و $$k$$ نشان دهنده ضریب سختی فنر باشد، معادله حرکت سیستم با توجه به قوانین فیزیکی نیوتون و خواص ذاتی جرم و فنر، به صور زیر خواهد بود:

$$ m \frac{d^2}{dt^2} x(t) + k x(t) = F $$

که در آن $$F$$ نشان دهنده نیروی خارجی وارد شونده به سیستم جرم و فنر است.

ما برای حل این معادله دیفرانسیل بایستی مقادیر عددی پارامترهای $$m$$ و $$k$$ و همچنین تابع نیروی خارجی $$F(t)$$ را داشته باشیم. همچنین باید مکان اولیه و سرعت اولیه نیز بایستی معلوم و معین باشند. فرض می کنیم که مقدار نیروی خارجی وارد شده بر سیتسم در تمام زمان ها برابر با صفر باشد؛ یعنی $$F = 0$$. همچنین فرض می کنیم که مکان اولیه برابر با صفر و سرعت اولیه برابر با یک باشد. به عبارت دیگر سیستم مورد بررسی به صورت زیر توصیف می شود:

$$ m \frac{d^2}{dt^2} x(t) + k x(t) = 0 $$

 

$$ x(0)=0 $$

 

$$ \frac{d}{dt} x(0) = 1 $$

کاهش درجه معادله دیفرانسیل

برای حل معادله دیفرانسیل درجه دو می بایست ابتدا آن را به دستگاهی از دو معاله درجه یک تبدیل کنیم. در حالت کلی برای حل معادله دیفرانسل درجه $$n$$ می بایست آن را به صورت دستگاهی از معادلات درجه یک با $$n$$ معادله تبدیل نمود.

فرض کنیم که متغیر جدیدی به صورت زیر تعریف شده باشد:

$$ y = \frac{d}{dt} x $$

به عبارت دیگر $$y$$ نشان دهنده سرعت حرکت جرم است. می توان به راحتی نشان داد که:

$$ \frac{d}{dt} y = \frac{d^2}{dt^2} x $$

حال معادله دیفرانسیل مورد بررسی را با استفاده از متغیرهای جدید بازنویسی می کنیم. نتیجه بازنویسی در ادامه آمده است:

$$ \frac{d}{dt} x = y $$

 

$$ \frac{d}{dt} y = -\frac{k}{m} x $$

که همان فرم فضای حالت سیستم جرم فنر ساده است. شرایط اولیه این سیتم نیز عبارتند از: $$x(0)=0$$ و $$y(0)=1$$.

برای راحتی کار و همچنین ملموس تر کردن معادلات به دست آمده، متغیر برداری جدیدی را به صورت زیر تعریف می کنیم.

$$ z = [z_1, z_2]^T = [x, y]^T $$

در این حال معادلات فضای حال به صورت زیر قابل بازنویسی هستند:

$$ \frac{d}{dt} z = [z_2, -\frac{k}{m} z_1]^T $$

پیاده سازی با استفاده از متلب

مقادیر جرم و ضریب فنری را وارد می کنیم:

m = 1;
k = 10;

تابع مربوط به معادله دیفرانسیل سیستم دینامیکی را تعریف می کنیم:

springmass = @(t,z) [z(2); -k/m*z(1)];

و شرایط اولیه را تعریف می کنیم:

z0 = [0; 1];

بازه زمانی شبیه سازی را بین ۰ تا ۱۰ ثانیه در نظر می گیریم و بازه زمانی را به صورت زیر تعریف می کنیم:

tspan = [0 10];

با استفاده از یکی از حل کننده های یا Solver های متلب معادله دیفرانسلی را حل می کنیم. شما می توانید از توابع مختلفی نظیر ode45 و ode23 استفاده نمایید. ما در اینجا از ode23 استفاده کرده ایم.

[t, z] = ode23(springmass,tspan,z0);

پس از حل معادله دیفرانسیل، نتایج به دست آمده را نمایش می دهیم. ابتدا موقعیت متحرک را ترسیم می کنیم.

plot(t,z(:,1));
title(‘Position vs. Time’);

نمودار خروجی مربوط به مکان متحرک

و در ادامه سرعت متحرک را ترسیم می نماییم.

plot(t,z(:,2));
title(‘Velocity vs. Time’);

نمودار خروجی مربوط به سرعت متحرک

مشاهده می شود که سیستم از شرایط اولیه داده شده شروع به حرکت کرده است و با یک رفتار نوسانی نا میرا (به دلیل عدم وجود اصطکاک و دمپر) به کار خود ادامه داده است.

نحوه شبیه سازی سیستم های مرتبه بالاتر و همچنین سیستم های غیر خطی نیز کم و بیش مشابه با کاری است که در مورد سیستم جرم و فنر انجام دادیم. در واقع مطالبی که در این پست به آن ها اشاره نمودیم، یک الگوی کلی برای حل و شبیه سازی معادلات دیفرانسلی معمولی یا Ordinary Differential Equations و یا به اختصار ODE ها را فراهم می آورند.

امیدواریم این مطلب برای شما مفید باشد و پاسخگوی سئوالات و مشکلات شما در زمینه شبیه سازی سیستم های دینامیکی و حل عددی معادلات دیفرانسیلی باشد.

مطالب پیشنهادی‎

۱۳ نظر در "ترفند متلب: چگونگی حل معادلات دیفرانسیل معمولی در متلب"
  1. واقعا ممنون از این پست !!! ۲ ساعت دارم تو نت دنبال حل این معادلات می گردم دقیقا چیزی که می خواستم رو پیدا کردم !!!! باز هم ممنون از سایت خوبتون !!!

  2. میشه یه پست هم راجع به FRF در همین سیتم های جرم و فنر بذارید که چه جوری باید تابعش رو تعریف کرد و رسم کرد.

    1. در پاسخ سید عباس محمودی:
      با سلام،
      امکان برنامه نویسی و پیاده سازی موازی در متلب وجود دارد. برای آشنایی با این بحث، می توانید از مطالب موجود در این پست (+) استفاده نمایید.
      موفق باشید.

    1. در پاسخ مهرنوش:

      با سلام،

      به زودی بسته فیلم های آموزشی تئوری موجک در متلب ارائه خواهد شد.

      موفق باشید
      متلب سایت

    1. در پلسخ به حیدر:
      با سلام.
      از اعتماد شما به مجموعه ی فرادرس (متلب سایت) متشکریم.
      موفق و پیروز باشید.

    1. در پاسخ یه ahmadreza:
      با سلام،
      متاسفانه هیئت علمی به سوالات تخصصی دسترسی ندارند.
      ما دوره های اکسالیدا (+) را پیشنهاد می دهیم.
      با مراجعه به این لینک (+) از جزییات دوره برنامه نویسی سی شارپ مطلع شوید.
      موفق و پیروز باشید.

    1. در پاسخ به احمدرضا:
      با سلام،
      متاسفانه امکان پاسخگویی به سوالات تخصصی وجود ندارد اما پیشنهاد ما مشاهده فیلم آموزشی جامع حل انواع معادلات دیفرانسیل در متلب (+) می باشد.
      با مراجعه به لینک صفحه از جزییات این محصول آموزشی مطلع شوید.
      موفق و پیروز باشید.

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *